六、期权平价公式与期权定价¶
🏺 寓言故事 —— 《两条路走到同一座山》¶
阿智想了一个问题：看涨期权和看跌期权之间有什么关系？他用两个策略来证明。
策略一：买看涨 + 存现金¶
今天阿智做两件事： 1. 花 $C$ 两银子买一份看涨期权（有权按 $K$ 的价格买入大米）； 2. 把 $K \times e^{-rT}$ 两银子存进钱庄（到期时刚好变成 $K$ 两）。
到期时：如果大米价格 $S_T > K$，阿智行权，用 $K$ 两买大米，大米值 $S_T$；如果 $S_T \leq K$，阿智放弃行权，手里还有 $K$ 两现金。所以策略一到期价值 = $\max(S_T, K)$。
策略二：买看跌 + 买现货¶
今天阿智做另外两件事： 1. 花 $P$ 两银子买一份看跌期权（有权按 $K$ 的价格卖出大米）； 2. 花 $S$ 两银子买一斤大米现货。
到期时：如果 $S_T < K$，阿智行权，按 $K$ 两卖出大米；如果 $S_T \geq K$，阿智放弃行权，手里有大米值 $S_T$。所以策略二到期价值也 = $\max(S_T, K)$。
无套利结论¶
两个策略到期时的价值完全一样，根据无套利原则，它们今天的成本也必须一样：
$$C + K \times e^{-rT} = P + S$$
这就是著名的期权平价公式。知道了看涨期权价格，就能算出看跌期权价格，反之亦然。
Black-Scholes 期权定价模型¶
那么看涨期权本身值多少钱？三位经济学家（Black、Scholes、Merton）在1973年给出了答案。
核心思想：在"风险中性世界"里，所有资产的预期收益率都等于无风险利率。在这个世界里，欧式看涨期权的定价公式是：
$$C = S_0 \times N(d_1) - K \times e^{-rT} \times N(d_2)$$
其中： - $N(d_1)$ 是期权的 Delta（敏感度），也是行权的概率； - $N(d_2)$ 是风险中性下行权的概率； - $S_0 \times N(d_1)$ 是行权时标的资产的期望现值； - $K \times e^{-rT} \times N(d_2)$ 是行权价的现值。
模型的局限¶
Black-Scholes 模型虽然伟大，但假设太理想化： - 只适用于欧式期权，不适用于美式期权； - 假设标的资产不付股息（现实中很多股票付股息）； - 假设波动率恒定（实际波动率会变化，还有"波动率微笑"）； - 假设无风险利率恒定（实际利率会变）； - 假设没有交易成本和税收； - 假设市场完全有效。
现实中常用二叉树模型、蒙特卡洛模拟等方法来弥补这些局限。
📖 原文定义
期权平价关系是描述具有相同标的资产、执行价格和到期日的欧式看涨期权和看跌期权之间价格关系的基本定理。
策略1：买入1份执行价格为K的欧式看涨期权（价格为 $C$ ）；同时存入现金 $Ke^{-rT}$ 。策略1到期日的价值为 $\max(S_T, K)$ 。
策略2：买入1份执行价格为 $K$ 的欧式看跌期权（价格为P）；同时买入一份标的资产（价格为 $S$ ）。策略2到期时的价值也为 $\max(S_T, K)$ 。
由于两个策略在到期日具有相同的价值，根据无套利原则，它们在 $t = 0$ 时的成本也必须相等：$C + Ke^{-rT} = P + S$ 。
美国诺贝尔经济学奖获得者Fischer Black、Myron Scholes和Robert Merton于1973年通过构建无风险对冲组合的方法，根据偏微分方程得出期权定价的解析解，建立了Black-Scholes期权定价模型。
尽管 Black-Scholes 模型具有重要意义和广泛应用，但其基于一系列理想化的假设，这在实际应用中存在一定局限性。例如，该公式仅适用于欧式期权，无法直接用于美式期权的定价。此外，模型假设标的资产在期权有效期内不支付股息或红利，假设标的资产价格的波动率是恒定的，假设无风险利率在期权有效期内是恒定的，假设市场可以连续交易且不存在交易成本和税收等。
💡 对应点
| 故事元素 | 概念对应 |
|---|---|
| 两条路走到同一座山 | 期权平价公式 |
| 买看涨+存现金 | 策略一 |
| 买看跌+买现货 | 策略二 |
| 到期价值相同则成本相同 | 无套利原则 |
| Black-Scholes公式 | 欧式看涨期权定价模型 |
| 风险中性世界 | 假设所有资产预期收益率等于无风险利率 |
| 假设太理想化 | 模型的局限性 |
| 二叉树、蒙特卡洛 | 改进方法 |
📝 来源：科目二 · 第六章第四节 · 六、期权平价公式与期权定价