三、债券的久期和凸性¶

（一）久期¶

🏺 寓言故事 —— 《十六铺的三笔到账》¶

一九五二年初春，黄浦江上还飘着冷雾，十六铺码头西头陈源丰粮油号的周掌柜来敲老陆米行的门。

"陆老板，借一步说话。"周掌柜压低嗓门，从袖子里抽出一张盖了红印的借据，"我这号上要进一批暹罗米，手头紧，想开张借据——每年年底给十块红利，三年后到期还本一百块。您看值多少？"

老陆把老花镜推上鼻尖，没接话，反问一句："到期那一天才还本——可红利呢？红利从哪一天起算？"

周掌柜说："借据上红纸黑字，一年一付。头一年年底给十块，第二年年底再给十块，第三年到期那一日还本一百块、再加最后一年红利十块。"

"那便是三笔。"老陆拿算盘拨了三下，"头一年十块，第二年十块，第三年二十块加回本一百，拢共一百二十块，分三回到手。"

周掌柜点头："对。"

老陆却又问："钱庄的折现规矩你懂不懂？明年的十块、搁到今天值多少？"

周掌柜笑了："陆老板考我。行规是打个八折——明年的十块，今天当八块算；后年的十块，今天当六块四；大后年那一百一十块，今天就当八十八块了。"

老陆拿过算盘噼里啪啦一拨，把三笔到账都折回今天。

【冲突】

老陆拨完算盘，眉头却拧了起来。

林伙计从后头探进头来："陆老板，这借据好算——不就是最后一笔到期日三年嘛？三年回本。"

"糊涂。"老陆敲了一下算盘，"最后那笔还本的日期是三年，可前面还有两笔红利，头一年就到手了。你把三笔到账都摊到今天来看，头一笔最值钱——它一分钱折都没打，是足十块；中间那一笔打了八折，只值八块；最后一笔本息加起来打的最大折扣，才值八十八块上下。"

林伙计眨眨眼："那……那又怎样？"

老陆竖起一根指头："三笔到账，不是同一日一起回来的。头一年先来一笔，第二年再来一笔，第三年才来大头。我陆某人今天掏出去的本钱，平均下来，得等多少年才能把这一百二十块都收回来？"

他把三笔折现数摆成一列——头笔十块，第二笔八块，第三笔八十八块——再一抬头："这笔账，不能光看最远那一日是三年。前面两笔到得早，得把它们算进'平均要等的年份'里头去。"

林伙计挠挠头："那……那平均得几年？"

老陆眯起眼："你把每笔到账折回今天值多少钱，再拿它占今天总价几分作权数——头一笔最重，中间次之，最后一笔最轻——按这权数把三笔的年数一加，加权算出来的那一年份，才是我老陆要等的'平均回本'年份。"

周掌柜听得一愣一愣的："陆老板，您这算法……"

"算出来不到三年。"老陆把算盘一推，"远远不到三年。头一笔和第二笔红利拉低了它。这笔借据单看最后还本日是三年——可把三笔到账按今天值几成作权数一加权，平均回本的年份要短得多。"

【转折】

这时钱庄恒泰的郑老大踱进门来，听了个尾巴，插嘴道："陆老板，我那儿也有人来打听——有人说米价要跌，有人说要涨。市面行情变一两个点，这种带红利的借据价格上蹿下跳得最凶；那种一锤子买卖、到期才一次性还本的借据，反而稳得多。平均回本年份越长的借据，行情一变就跌得越深、涨得越猛。"

老陆点头："有道理。我这算出来的'平均回本年份'越长，说明这借据里大头都押在最后那一笔。大头越押后头，行情一抖，价钱就抖得越厉害。"

郑老大又问："那同一种借据、同一张——红利给得越抠门，这'平均回本年份'是不是越长？"

老陆眼睛一亮："正是。你想想——红利多给一点，头几年到手的折现数就重，最后那一笔的权数就轻，平均回本年份就短，行情一抖价钱抖得也轻。红利少给甚至不给——那所有份量都压在最后那一笔，平均回本年份就长，行情一抖价钱就翻江倒海。"

他把算盘上的数一摆："我这张借据——头一年就给十块红利——不算抠。要是陈源丰学那些精明人，把红利压到只给五块，那我这平均回本年份就要拉长，市面行情一抖，价钱就上蹿下跳得厉害。"

周掌柜听得入神："所以这'平均回本年份'，是借据脾气的一把尺子？"

"对。"老陆一拍柜台，"这便是码头上老辈人传下来的'等头'——我掏出去的本钱，平均要等多少年才统统收回来。等头越长，借据脾气越躁。"

【结局】

郑老大把那张借据接过去掂了掂，嘻嘻一笑："陆老板，我明白了——光看借据上最后那一日是几年没用，得把那三笔到账按今天值几成作权数、加权算出来。这算出来的那一年份，才是真要等的年份。红利给得越早、给得越多，这一年份就越短，借据就越稳当。"

老陆点头，又补了一句："还有一条要紧的——这算法算出来的'等头'，还得拿一个数过一过——'等头'除以（1 加行情点），才算能直接对行情看的'准等头'。这'准等头'越大，行情抖一个点，价钱跟着抖的成数就越大。"

周掌柜把借据收好，拱手道："陆老板，今日这一课，胜过账房三年。"

老陆把老花镜摘下，望着码头上来来往往的船影。汽笛呜了一声，黄浦江的潮水正一寸一寸地往上涨。

📖 原文定义

久期（Duration，麦考利久期）是由美国学者弗雷德里克·麦考利（Frederic Macaulay）于 1938 年引入的一个概念。它从现值的角度计算债券本息所有现金流的加权平均到期时间，即债券投资者收回其全部本金和利息的平均时间。

久期用来衡量债券价格对收益率的敏感性。麦考利久期除以（1+y）即为修正久期（D_mod）。修正久期越大，由给定收益率变化所引起的价格变化越大。

在所有其他因素不变的情况下，到期期限越长，债券价格的波动性越大。对于附息债券而言，当其他因素不变时，票面利率越低，麦考利久期和修正久期就越大。

零息债券的久期等于其到期期限。

💡 对应点

故事元素	概念对应
三笔到账（头年十块、第二年十块、第三年二十块加回本一百）	债券本息所有现金流
把每笔到账按八折折回今天	现值 PV（贴现现金流）
折回今天各值十块、八块、八十八块	各期现金流的现值
折现值占今天总价几分作权数，加权算平均年数	麦考利久期 = Σ(t × PV(CF_t)) / Σ(PV(CF_t))
算出来不到三年	附息债券久期 < 到期期限
红利给得越抠门，平均回本年份越长	票面利率越低，久期越大
行情一抖，价钱上蹿下跳	久期衡量价格对收益率的敏感性
红利多给，头几年到手的折现数重	票面利率越高，久期越短
平均回本年份除以（1 加行情点）	修正久期 D_mod = D / (1 + y)
"准等头"越大，行情抖一个点，价钱跟着抖的成数越大	修正久期越大，给定收益率变化引起的价格变化越大
一锤子买卖、到期才一次性还本反而稳	零息债券久期 = 到期期限，价格波动仍与到期期限相关
钱庄恒泰的伙计	1938 年麦考利提出久期概念的时代背景

📝 来源：科目二 · 第五章第三节 · 三（一）久期