（二）凸性¶
🏺 寓言故事 —— 《码头秤的弯度》¶
一九五二年初春，十六铺码头来了一批早稻米。老陆在自家米行的门脸支起一杆新秤，秤盘亮、秤砣沉，是请城隍庙老师傅专门打的。伙计苏伙计把秤擦了三遍，秤杆上的刻度清晰得像新刻的碑文。
头几天过秤的多是零散客人——码头边的小饭铺、跑船的厨子、过路的水手，一斗两斗地买，秤尾高高翘起，秤砣落到刻度正中央，分毫不差。老陆站在一旁看得直点头："到底是老师傅的手艺。"
到了第十天，情形变了。城北苏记粮栈的郑老大带着三个伙计，抬了整整十二袋早稻米来批发过秤。一袋一袋往秤盘上搁，秤杆压得咔咔响，绳子绷得紧紧的。苏伙计把秤砣一推再推，最后秤尾勉强平了，刻度指在"三百二十斤"上。
"老陆，十二袋共三千八百四十斤，记上账。"郑老大撂下话，抬脚就要走。
老陆一把拦住他："且慢，秤上写着三百二十斤，怎会是三千八百四十斤？"
郑老大笑道："老陆，你那秤是按一斗一斗称的。三百二十斤，是按你刻度读出来的数。我这十二袋大包米一压上去，秤盘和秤杆之间的绳子绷得死紧，刻度看上去是一回事，可绳子会拉长一点点，秤杆也会微微下弯一点点——量越大，弯的越多。你按刻度读是三千二百斤，可按码头的老规矩加上一成的'绳损秤差'，实打实就是三千八百四十斤。"
老陆愣住了。
第二天，老陆去找钱庄的顾先生讨教。顾先生在十六铺做了三十年账面，最讲究"算得准"。
"顾先生，我看这秤不准了。量小的时候，分毫不差；量一大，就差出去一成。"
顾先生慢悠悠泡了壶茶："老陆，你这秤是死的，人是活的。码头上的秤，称的是'量';可你心里真正要算的，是'钱'——量一变、价一变，账面就跟着动。"
"比如有人问你：'米价每涨一文，粮栈的存米值多少钱？' 你第一反应是不是按'量乘单价'算个总数？可这是把价和量当直线看。价涨一点，账面涨多少？价涨很多，账面又涨多少？——价钱越是大涨大跌，你按直线算的数，跟实际差得越远。"
老陆似懂非懂："那咋办？"
顾先生从袖里取出一张白纸，提笔画了两条线：一条斜的直尺，一条弯的月牙。
"那条直尺，叫'斜率尺'，就是你的秤尾。量小的时候，秤尾平平稳稳一翘一落，直尺量得准。可量大了，秤尾就慢慢往下沉——那条月牙形的弯尺，才是把'量越大差得越远'这件事量出来的。"
"我叫它'弯度尺'。量越大、价越低，弯度尺就伸得越长。"
老陆忙问："那这弯度尺有啥用？"
顾先生把弯尺一端按在桌上："你听好。涨的时候，按斜率尺算出来的数是'会涨这么多'，可弯度尺一兜底，'实际涨得比你想的还多'。跌的时候，按斜率尺算出来'会跌这么多'，可弯度尺再一托，'实际跌得比你想的还少'。"
"也就是说——涨多跌少，永远站在你这一边。"
老陆瞪大眼："永远？"
"对，永远。这是老天爷给老实量米的人留的一条规矩。"顾先生又把弯度尺抽长了一截，"中间不付钱、到期一次给的大单子，弯度尺最长；中间小笔小笔分付的单子，弯度尺就短。"
老陆回去后，把米行的账重做了一遍。他在墙上挂了三种尺：
- "小量直尺"——零敲碎打的散客买卖，斜率尺够用。
- "中量弯尺"——城北苏记粮栈这种成批走的批发，斜率尺算出来要加一点弯度。
- "大批弯月"——那些一订就是三年五年、一次付清的远期大单，弯度尺拉得最长。
多年后，十六铺码头的米行掌柜们一见面就聊两件事：一是今年的米价走势，二是顾先生那张"弯度尺"。老陆常常念叨一句口头禅：
"小秤看直，大秤看弯；价涨多时弯尺兜底，价跌多时弯尺托底——这买卖，怎么算都亏不了太多。"
📖 原文定义
凸性（Convexity）描述了债券价格与到期收益率之间的非线性关系。凸性衡量了债券价格对收益率的二阶导数，是久期缺口的重要补充。
在所有其他因素不变的情况下，到期期限越长，凸性越大。票面利率越低，凸性越大。
久期可以用于估算收益率小幅度变化时债券价格的变化，当收益率变化幅度较大时，需要考虑凸性的影响。
对于债券收益的微小变化，久期可以给出利率敏感性测度。但随着收益变化程度的增加，这种方法会产生越来越大的误差。这是因为债券价格随利率的变化关系是非线性的。
💡 对应点
| 故事元素 | 概念对应 |
|---|---|
| 码头新秤的刻度 | 久期（按线性关系估价的工具） |
| 小量零敲碎打，分毫不差 | 收益率小幅度变化时，久期估算够准 |
| 量大绷紧绳子、秤杆微弯 | 收益率变化幅度大时，久期估算误差变大（非线性） |
| 郑老大按"绳损秤差"加一成 | 久期估算价格变动时需加的"凸性修正" |
| 顾先生的"弯度尺" | 凸性（价格—收益率曲线的弯曲程度） |
| 弯度尺"涨多跌少" | 凸性为正的债券，利率跌时价格涨得比久期估的多，利率涨时跌得比久期估的少 |
| 中间不付钱的大单子弯度尺最长 | 到期期限越长，凸性越大 |
| 票面利率越低，弯度尺越长 | 票面利率越低，凸性越大 |
| 弯度尺永远站在持单子的人一边 | 凸性对投资者有利 |
| 墙上三种尺：小量直尺、中量弯尺、大批弯月 | 凸性是久期的重要补充，量级不同需不同考量 |
📝 来源：科目二 · 第五章第三节 · 三（二）凸性