06、复利¶
🏺 寓言故事 —— 《小福的雪球》¶
1952 年初春，十六铺的米行街刚开市，"德兴米行"的小学徒小福才十三岁，每天清早要替掌柜老周把米袋一袋一袋扛上板车。
这日下着小雨，铺子里没客人，老周从钱柜里摸出一百块银元，搁在柜台上，对小福说："阿福，这钱我借给你舅公，他要在乡下开一片豆腐坊。年息一成，三年后一次还清。你算算，三年后他能还给咱多少？"
小福在私塾念过几年书，掰着指头算：一百块，年息一成，第一年到期是十块，三年就是三十块，连本带利一百三十块。
老周笑了一声："你再算算。"
小福把算出来的数字报了一遍，老周摇摇头，从柜台下抽出一本账簿，摊开写下几行字。
"你听好——"老周指着账本，"第一年到期，连本带利一百一十块。这多出来的十块，第二年也要一起生息。第二年到期，不是一百一十再加十，而是一百一十乘以一成，得十一块，连本带利一百二十一。第三年到期，是一百二十一乘以一成，得十二块一，连本带利一百三十三块一。"
小福愣住了："多了三块一？"
"不止。"老周把算盘推过来，"你把年息一成的雪球，每年滚一滚，看看到第三年时它变成了多大——一百乘以一又十分之一、再乘一次、再乘一次，等于一百三十三块一。这就是把钱'养'在生意里，每年赚的钱都归到本钱里头，第二年一起生新钱。"
小福眨巴着眼："掌柜，我爹种田也是这样？"
"正是。"老周指着窗外黄浦江上来来往往的货船，"你爹每年卖完稻谷，刨去口粮，剩下的都买地、买牛、买种子。头一年，地里的稻谷加上新开的小亩，就是第二年的本钱；第二年赚的又归到田里；第三年更大。田就是那个雪球，越滚越大。"
小福又问："那三年后的这笔账，我能不能现在就知道值多少？"
老周把账本翻到下一页："反过来想——三年后你舅公要还咱们一百三十三块一。咱们今天若借出这笔钱，要按一成息算，现在该拿出去多少？这就要把未来的钱，折回今天。一个除法，把一百三十三块一除以三次'一加一成'，约莫一百块。"
小福这才明白：原来"未来的钱"和"今天的钱"之间，隔着一道能算清的折算。算出来的"今天该出多少"，就是按同样一成的息往回推的本钱；而"未来能收多少"，则是按同样一成的息往前滚的本钱和。
"掌柜，"小福问，"那要是再滚十年呢？"
老周合上账本，望向江面："十年、二十年，雪球会大到吓人。你舅公那小豆腐坊，只要年年把赚的钱归到本钱里，十年下来，怕是城里都能开分号。钱这东西，最怕死睡在箱子里——一动起来，年年都在自己生自己。"
小福点点头，把那本账簿翻来覆去看了好几遍。雨停了，十六铺码头上的汽笛又响起来。
📖 原文定义
与单利不同，复利的特点是每经过一个计息期，所产生的利息会加入本金，形成新的本金，并在下一个计息期继续计算利息。这样，利息逐期累积，使得资金增长呈现加速趋势。计息期，是指相邻两次计息的时间间隔，通常为年、月或日等，除非特别说明，计息期默认为一年。
复利终值的计算公式与货币终值的计算公式等同，即 $FV = PV \times (1 + i)^n$，其中 $(1 + i)^n$ 称为"复利终值系数"或"1元的复利终值"，用符号 $(FV, i, n)$ 表示。例如，$(FV, 6\%, 3)$ 表示利率为 $6\%$、3期的复利终值系数。
根据复利终值公式，可以推算出复利现值的计算公式：$PV = FV \times (1 + i)^{-n}$，式中，$(1+i)^{-n}$ 称为"复利现值系数"或"1元的复利现值"，用符号 $(PV, i, n)$ 表示。
💡 对应点
| 故事元素 | 概念对应 |
|---|---|
| 借给舅公开豆腐坊的本钱一百块 | 现值（PV） |
| 年息一成 | 每期利率（i） |
| 三年为期 | 期数（n） |
| 每年赚的十块归到本钱里再算下一年的息 | 复利——利息加入本金形成新本金 |
| 第一年一百一十，第二年一百二十一，第三年一百三十三块一 | 复利终值逐年滚算 FV = PV × (1+i)^n |
| "一百乘以一又十分之一、再乘一次、再乘一次" | 复利终值系数 (1+i)^n |
| 三年后的一百三十三块一折回今天 | 复利现值 PV = FV × (1+i)^(-n) |
| 折算时"按同样一成的息往回推" | 复利现值系数 (1+i)^(-n) |
| 钱"动起来年年都在自己生自己" | 利息逐期累积使资金增长呈加速趋势 |
| 小福父亲年年把余钱买地、买牛、买种子 | 现实中的复利——收益再投入扩大生产 |
📝 来源：科目二 · 第三章第二节 · 第三节 四（二）复利