07、贴现因子¶
🏺 寓言故事 —— 《阿贵的「换算尺」》¶
1952 年开春，十六铺米行街上雨水刚歇，"德兴米行"的掌柜老周把儿子小周和伙计阿贵都叫到后堂。桌上摊着一张红纸——是阿贵这两日埋头算出来的"折算表"。
事情是这样的：老周盘下一笔大生意，码头边一位姓方的棉纱商要筹钱去江北收棉花，开出一张十年期的"期票"——从今年起，每一年年底，老周都能收到八十块银元；到第十年年底，连本带利共收回一千零八十块。街坊都说这买卖稳当。
可老周看着这张期票，半晌没吱声。
小周急了："爹，八十块一年，白纸黑字到期就兑，还有什么好琢磨的？"
老周把目光投向阿贵："你那张折算表，念给大家听听。"
阿贵指着红纸："这张期票，每年能拿八十块——可同样八十块，今年年底拿到的，跟第十年年底拿到的，分量不一样。今年年底的八十块，今晚就能揣进钱柜，明儿一早就能去进一船湖广新米、付船工工钱、赶上青黄不接的时令——钱'活'，立刻能派用场。可第十年年底的八十块呢？得等十年。这十年里钱柜空着、船工等米下锅、别的米行把客人抢走——这八十块'死'了十年才到，分量自然就轻了。"
小周听得愣愣的："那怎么算？"
阿贵接着说："我去找钱庄孙掌柜，打听了市面上各年的'水息'——钱庄借出银子按年收的成数。年头越远，水息越贵。我把各年的水息标在表上，再给每一年的八十块，算出一个'换算成今天该值多少'的小数。比如第一年的八十块，按五分七的息往回折，约值七十五块八；越往后年份越远，折回来的数就越小——到第十年，那八十块换到今天，只值三十四块多些。孙掌柜管这每一个小数叫'换算尺'——其实就是把未来某一年才能拿到的一块银元，'量一量'它今天值多少的比值。年份越远，'换算尺'上的数越小；同一年里水息越重，这把'尺'也越小。"
老周站起身，把红纸推给小周："这十年加起来共能收一千零八十块，可把每一年的八十块都用'换算尺'折回今天，再加到一起，实际只值九百七十三块上下——这就是这张期票'今日'真正的身价。"
小周恍然大悟："难怪爹要把每一年的钱都'量'一遍再加在一起——不能光看票面上写的总数！"
老周合上账本，望着窗外的黄浦江："做米行的人，最忌讳把'将来才到的银子'当成'眼下就有的银子'。阿贵这把'换算尺'，就是'未来一块钱今天值多少'的标尺——拿着它去量每一笔未来的进账，再把量出来的数加在一起，才知道眼前这门生意，到底值不值得接。"
阿贵把红纸卷起来，老周在封口处写下四个字——"今日身价"。
窗外的黄浦江上，一艘货船正拉响汽笛，靠向十六铺的栈桥。
📖 原文定义
通过即期利率，我们可以为每个时间点定义相应的贴现因子 $d_{t}(t=1,2,\cdots,k)$，其计算公式为：
$$d_{t} = \frac{1}{(1 + s_{t})^{t}}$$
其中，$S_{t}$ 为即期利率。
贴现因子将未来现金流直接转化为相应的现值，可以看作是未来某个时间点上收到1单位现金的现值。随着时间t的增加，贴现因子通常会变小，反映出远期现金流的现值较低。这是因为时间越久，资金的时间价值越大，即未来的现金流在当前的价值越小。
对于任意现金流 $(x_{0}, x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{k})$ 与相应的市场即期利率，现值计算公式为：$PV = x_{0}d_{0} + x_{1}d_{1} + \cdots + x_{k}d_{k}$。
💡 对应点
| 故事元素 | 概念对应 |
|---|---|
| 阿贵去钱庄问来的各年"水息" | 即期利率 $s_{t}$——市场各期限的零息年化收益率 |
| 红纸上每一年对应的小数 | 贴现因子 $d_{t} = 1/(1+s_{t})^{t}$ |
| 把"第十年的八十块"折回今天只值三十四块多 | 未来某时点收到1单位现金的现值 |
| 年份越远，"换算尺"上的数越小 | 贴现因子随 t 增大而变小 |
| 水息越重，"换算尺"上的数越小 | 即期利率越高，贴现因子越小 |
| 第一年八十块折回今天约七十五块八 | 公式 $d_{1} \times 80 = 80/(1+5.571\%) \approx 75.78$ |
| 第十年八十块折回今天只值三十四块多 | 公式 $d_{10} \times 80 = 80/(1+8.793\%)^{10} \approx 34.44$ |
| 十年一千零八十块"加在一起"只值九百七十三 | 现值 $PV = \sum_{t=1}^{k} x_{t} d_{t}$——所有现金流贴现后求和 |
| 每年收八十块、第十年连本带利一千零八十 | 案例 3-8 的 10 年期、票面 8% 债券现金流 |
| 老周写下"今日身价"四个字 | 用贴现因子把未来现金流换算为现值的本质 |
📝 来源：科目二 · 第三章第二节 · 第三节 五（二）贴现因子