三、久期和凸性¶
🏺 寓言故事 —— 《渡船人的水程账》¶
青河穿城而过，河上有位老渡船人，名叫程叔。他撑船四十年，从不靠天吃饭，而是靠一本"水程账"——哪段河深、哪段流急、哪日水涨、哪日水落，他都记得清清楚楚。
城里有个钱庄老板周掌柜，专做"借出钱、收回来"的买卖。他把钱借给船帮、粮行、织坊，对方承诺到期还本，每年还付一笔"水脚钱"——就像船家收运费。周掌柜最大的心病是：青河的水位年年变，水涨时船行得快，水落时船行得慢。他借出去的钱，到底要多久才能真正"回到自己口袋里"？
程叔第一次帮周掌柜算账，是在一个秋雨绵绵的傍晚。
"周掌柜，你借给船帮老赵一百两，十年到期，中间一分不还，全攒到最后。"程叔在账本上画了一条笔直的线，"这好比我的空船顺流直下，中间不停不靠，十年才到终点。你的'水程'就是整整十年。"
周掌柜点点头："那借给粮行钱掌柜的呢？也是十年，可他每年还我十两本金加利息。"
程叔笑了，把那条笔直的线改成一串相连的短弧："这好比载客的渡船，每过一段码头就下一批人。船越走越轻，后面几程越来越快。你的银子不是十年后才一次性回来，而是年年都有回头钱。按现值加权一算，这笔钱的'平均水程'只有六年多——比十年短得多。"
周掌柜恍然大悟：原来同样十年的借条，"中间有没有回头钱"，决定了银子真正回来的快慢。他把这个算法叫做"程叔水程"，写在钱庄的墙上。
三年后，青河发了大水，又逢大旱。水位的涨跌让周掌柜的借条价格像秤杆一样上下晃。他请程叔来，想算一算：水位每涨一寸，借条值多少钱？
程叔这次带来一把新尺。"水程账只告诉你银子回来的平均快慢。现在我要做一把'晃动摇尺'——水程越长，水位一涨一跌，你的借条价格晃得越厉害。"
他用老赵那张十年不还中间钱的借条做例子："水程是十年，晃动摇尺量出来是九。意思是水位每涨一寸，这张借条的价格大约跌九文。反过来，水位跌一寸，价格大约涨九文。"
周掌柜倒吸一口凉气："那钱掌柜每年还钱的借条呢？"
"水程短，晃动摇尺也短，大约只有五。同样一寸水位涨跌，它只晃五文。"程叔把两把尺并排挂在墙上，"记住：水程短的借条，抗得住风浪。"
周掌柜以为问题解决了。可第二年春天，青河遭遇百年不遇的改道，水位一下子涨了三寸。他按程叔的"晃动摇尺"去估，老赵的借条该跌二十七文。可到集市上一问，实际只跌了二十三文——比估算的少跌了四文。
"程叔，你的尺不准了！"周掌柜急得直跺脚。
程叔却不慌，从怀里掏出第三把尺。这把尺不是直的，而是弯的，像一弯新月。
"周掌柜，你怪我，是因为你以为水位和借条价格是直线关系。其实它不是直线，是一条往下弯的弧线。水位涨一点，价格下跌；可水位涨多了，这条弧线会'托住'价格，让它跌得比直线估算的少。反过来，水位大跌时，弧线又会'推一把'价格，让它涨得比直线估算的多。"
他指着那把弯尺："这弧线的弯曲程度，我叫它'回弹曲度'。回弹曲度越大，对持借条的人越有利——涨的时候多涨，跌的时候少跌。"
周掌柜盯着那条弧线看了许久，忽然问："那老赵的借条和钱掌柜的借条，谁的回弹曲度大？"
"中间不还钱的，回弹曲度大。因为它像一艘从头到尾满载的船，吃水深，弧线弯。"
周掌柜做了一个让全城惊讶的决定。他把钱庄的借条分成两档：一档"求稳"——借给钱掌柜这种年年还钱的，水程短，风浪小；一档"求利"——借给老赵这种到期一次还的，水程长，回弹曲度高，水涨时虽然跌得多，但水落时涨得更多，而且回弹曲度会暗中"垫"住跌幅。
多年后，青河两岸的商人都记得周掌柜钱庄墙上的三把尺：水程尺量的是银子回来的平均快慢，晃动摇尺量的是水位涨跌时价格的晃动幅度，回弹曲度尺则藏着一条秘密——真正的河流从不是直线，而那弯弧，总是悄悄站在持借条的人这一边。
📖 原文定义
久期（Duration）定义为从现值的角度计算债券本息所有现金流的加权平均到期时间，即债券投资者收回其全部本金和利息的平均时间。对于零息债券，其久期等于到期期限；对于附息债券，在债券到期之前的每一次付息都会缩短加权平均到期时间，因此付息时间的提前或者付息金额的增加都会使债券的久期缩短。
修正久期（Modified Duration）表示债券价格百分比变动对收益率变动的相对值，也就是方便计算"债券价格—收益率"的敏感性。修正久期越大，由给定收益率变化所引起的价格变化越大。大多数债券价格与收益率的关系都可以用一条向下弯曲的曲线来表示，这条曲线的曲率就是债券的凸性。由于存在凸性，债券价格随利率变化而变化的关系就接近于一条凸函数而不是直线函数。凸性对投资者是有利的，在其他特性相同时，投资者应当选择凸性更高的债券进行投资。
💡 对应点
| 故事元素 | 概念对应 |
|---|---|
| 程叔的"水程" | 麦考利久期（加权平均回收时间） |
| 空船直航十年 vs 载客渡船年年下人 | 零息债券久期=到期期限；附息债券久期<到期期限 |
| 同样十年借条，水程不同 | 付息时间提前或付息金额增加使久期缩短 |
| 晃动摇尺 | 修正久期（价格对收益率变化的敏感度） |
| 水程越长，晃得越厉害 | 修正久期越大，给定收益率变化引起的价格变化越大 |
| 弯尺的弧线 | 凸性（价格—收益率曲线的曲率） |
| 弧线"托住"跌幅、"推一把"涨幅 | 凸性为正时，收益率升高估算跌幅大于实际跌幅；收益率降低估算涨幅小于实际涨幅 |
| 回弹曲度对持借条的人有利 | 凸性对投资者有利 |
| 到期一次还本的借条回弹曲度更大 | 其他特性相同时，选择凸性更高的债券 |
| 周掌柜分"求稳""求利"两档 | 久期与凸性在投资决策中的实际应用 |
📝 来源：科目二 · 第五章第三节 · 三、久期和凸性