三、效用、无差异曲线和最优投资组合¶
🏺 寓言故事 —— 《米市三老板》¶
一九五二年深秋，上海老城厢十六铺粮栈街秋粮上市。米行公会把这季的"米价路线图"贴出来——一张大纸，横轴是"上下浮动"，纵轴是"赚头多少"，画成一张图。图上从前到后摆了三种米：苏北粳米、皖南晚稻、暹罗洋米；上头画了条从左下方伸向右上方、像弓一样弯出去的曲线，是"所有掺法里最划算的那一段"——顾先生给它起名叫"有效前沿"。
三家米铺的老板同年同月生，却凑了三种脾性。
老陆是"不亏就赢"那一派。贩了一辈子苏北粳米，价钱平得像静水，年成不坏时稳稳赚六分；江北一发水，赚头跌到二分他也照样出货。街坊笑他"老母鸡"——不下大蛋，但也不掉毛。十六铺贴图那日，老陆戴了老花镜在图前站了一刻钟，指着"上下浮动四分、赚头六分"那一格说："这格就是我的命。"
老沈是"赚多赚少无所谓"那一派。做什么都看一眼平均赚头，浮动不浮动他不在乎——只要行当平均赚八分，他就扑上去。这一季他本想贩暹罗洋米，可听船老大说今年暹罗稻"丰得不像话"，价钱低得离谱，平均算下来只赚七分，他立刻缩手："七分不如不做。"他还是继续做皖南晚稻。
老冯是"爱赌"那一派。街口开赌坊的人见了老冯都得叫声冯爷——不是因为他有钱，是因为他爱那一下。开春囤进暹罗洋米时，旁人替他捏把汗：洋船漂三个月，海上风浪起，价钱能翻一倍也能砍半。他反倒在码头上乐呵呵吹口哨："十次里五次赚得笑醒、四次亏得当掉裤子、还有一次打平——平均下来，比贩粳米多赚一成。"
三人凑在米行公会的账房里，商量"下一季押哪只米"。
顾先生把三家账本摊开，又把那张"路线图"铺在桌上。他没直接答话，反问老陆："老陆，你心里头有几种方案'一样好'？"
老陆想了想："苏北粳米赚六分、上下浮动四分；要是能掺一成暹罗洋米进去——赚头能到六分半，可浮动会涨到四分半。我心里头，这两桩差不多。只要'赚头减掉浮动'差不多的，对我来说就一样。"
顾先生在图上点了两个点，又在两点之间画了一条线："这条线上，每一点对你的'满意程度'都是一样的——我管它叫'无差异曲线'。"
老冯凑过来："我也有一条？"
顾先生笑："你也有。可你那条'无差异曲线'，画出来斜得很——你愿意拿'多三倍浮动'换'多一档赚头'。老陆的那条弯得很——他'多一档赚头'得搭进'两倍浮动'都不肯。"
老陆皱眉："那为啥我俩都能用图上那一条'弓'？"
顾先生答："你那'无差异曲线'和老冯的'无差异曲线'，在图上是两套弯法不同的线。线与线不一样。但有一条是大家共用的——就是图上那条'弓'。我上回跟老陆、老沈说过：那条'弓'叫'有效前沿'，是所有掺法里既能选得到又最划算的那一段。"
他拿毛笔在图上点了一下："你俩的'满意线'，在'弓'上各有一个最贴近的点。我管这种'贴近'叫'相切'。那个点，既能选得到（落在'弓'上）又你最满意（在你的'满意线'里尽可能往上走），就是你俩的'最优组合'。"
老陆的笔尖往下挪，落在"弓"的左下段——"上下浮动"小、"赚头"低那一截。顾先生点头："你怕浮动，这个点对你最合适。"
老冯的笔尖往右上一戳，戳在"弓"的中段——"上下浮动"大、"赚头"高那一截。顾先生也点头："你爱赌那一口，这个点最对你胃口。"
老陆盯了半晌，忽然问："顾先生，'最贴近'的点是死的么？我若下季胆子又小了，是不是那个点还会挪？"
顾先生把笔搁下："挪。'最贴近'的点落在'弓'的哪儿，全看你怕不怕。越怕的人——怕亏、怕睡不着觉、怕船沉——他的点越往左下挪；越敢赌的人——家里米多、输了也饿不着、就图个乐——他的点越往右上挪。同一张图，三个脾性三种点，没有'一种最好'。"
老陆叹了口气："那岂不是我想哪样就哪样？"
顾先生摇头："不行。点得落在'弓'上。'弓'外的点选不到——你想再赚，那一截根本不存在；'弓'下的点亏算——它有，但被'弓'上别的点打趴了（同样浮动下赚得没别人多，或者同样赚头下浮动没别人小）。能让你满意的那一截，全在'弓'上。"
老冯抚掌："顾先生这话说白了——图上那条'弓'是'米行公会替所有人摆出的最好那一条'，我心里头那张'满意线'是我自个儿画出来的。两张图一交、笔尖一对——对上的那点，就是我下季该进哪只米。"
顾先生笑："老冯这话糙理不糙。你下季押暹罗洋米，老陆押苏北粳米，老沈继续做皖南晚稻。三个脾性，三种点。"
秋粮收齐那日，三家照各自点押的米下注。老陆账本上"上下浮动"一栏，全年最低；老冯"赚头"一栏，全年最高；老沈正好在中间——赚头不惊艳，浮动也不吓人，老沈抿了口茶："不亏就行。"
米行公会把那天的图裱进账房墙上，左侧用小楷写了一行字：
"图上有两条线。一条是'弓'，是米行摆给你看；一条是'心'，是你自个儿画。两条线一对——那个切点，就是你下季该押的那一注。"
📖 原文定义
根据投资者对风险不同的态度，可以将投资者分为风险偏好、风险中性和风险厌恶三类。风险偏好者喜欢投资结果的不确定性，在期望收益相同的投资方案中，会选择其中风险最大的。风险中性的投资者仅根据期望收益这一个指标作投资决策，不关心风险。风险厌恶的投资者不喜欢投资结果的不确定性，更喜欢确定的收益，因此在期望收益相同的投资方案中，他们会选择其中风险最小的。
马科维茨的现代投资组合理论假设投资者是风险厌恶的。对于这些投资者来说，他们不会选择无效的投资组合，因为可以通过调整投资组合，使其在相同风险下获得更高的预期收益，或者在相同预期收益下降低风险。
风险溢价是指投资者为了承担更高的风险而要求的超过无风险收益率的额外回报。
效用是投资带给人的满意程度。投资者更喜欢高收益和低风险的资产，因此不同资产给投资者的效用是不一样的。
投资者总是选择效用高的资产进行投资。假定每一个投资者可以根据资产（或资产组合）的预期收益与风险情况对效用进行量化比较，则可得出其效用函数。
无差异曲线是在期望收益—标准差平面上由相同给定效用水平的所有点组成的曲线。
使投资者效用最大化的是无差异曲线和有效前沿相切的点所代表的投资组合，这一组合称为最优组合。投资者按照这一组合进行投资可以获得最大的投资效用。因为这个点在有效前沿上，因此它是投资者可以实际选择的点；而它又是所有与有效前沿相交的无差异曲线中位于最上方的无差异曲线上的点，因此它又是投资者可以获得最大效用的点。
风险厌恶程度不同的投资者，其切点位置也不同。X 投资者比 Y 投资者更加厌恶风险，因此，X 的最优组合在 Y 最优组合的左下方。
💡 对应点
| 故事元素 | 概念对应 |
|---|---|
| 老陆"不亏就赢"的脾性 | 风险厌恶投资者 |
| 老沈"赚多赚少无所谓"的脾性 | 风险中性投资者 |
| 老冯"爱赌那一口"的脾性 | 风险偏好投资者 |
| 米行公会那张"赚头—浮动"路线图 | 期望收益—标准差平面 |
| "上回跟老陆、老沈说过的那条'弓'" | 有效前沿 |
| 老陆"赚头减掉浮动差不多就行" | 风险厌恶者的无差异曲线（更陡 / 弯曲） |
| 老冯"多三倍浮动换多一档赚头" | 风险偏好者的无差异曲线（更平缓） |
| 老陆"心里这几种方案都一样好"的连线 | 无差异曲线（相同效用水平的点集） |
| 满意线与"弓"最贴近的那个点 | 无差异曲线与有效前沿的"切点" |
| 切点既在"弓"上（可选）又在最上方满意线上（最满意） | 最优投资组合的两重身份 |
| 老陆点挪到"弓"左下段 | 风险厌恶程度高 → 切点靠左下方 |
| 老冯点挪到"弓"中段（右上） | 风险厌恶程度低 → 切点靠右上方 |
| "图上两条线一对，笔尖对上的那点" | 个体效用函数与市场有效前沿相切 |
| "'弓'外的点选不到、'弓'下的点被打趴" | 有效前沿的可实现性 + 无效组合的支配关系 |
📝 来源：科目二 · 第九章第一节 · 三、效用、无差异曲线和最优投资组合