二、均值—方差模型¶
⚖️ 寓言故事 —— 《两爿米铺》¶
一九五二年早春，上海老城厢十六铺。年后米价刚缓过劲，老陆和老沈一前一后来到同一条街上盘铺子。
老陆贩苏北泗洪的米，年成平稳时价钱稳得跟铁锚一样，年年赚六分；可一遇江北发大水，船运断，价就冲上天——年景最坏的月份，他这爿铺子的利翻着跟头往下跌。
老沈做的是芜湖一带的长粒晚稻，年成好时粮多价贱，他赚得少；可一遇长江涨，长江下游的米都跟着往上蹿——苏北米跌的月份，恰好是皖南米涨的月份。
两人去年都亏：老陆亏在米价跳水，老沈亏在米价上蹿时他没船。亏完一整年，两人找上了米行公会的账房先生顾先生。
顾先生六十出头，戴金丝边眼镜，手指永远沾着红印泥。他把两家的账本摊开：陆源记过去十年平均年利六分，上下浮动五分；沈穗和平均年利八分，上下浮动九分。两位老板的命，像两只手按在同一架跷跷板上。
老陆先开口："把两家的米按一半对一半掺着卖，期望的利就是七分，比我原来高。"
顾先生笑了："老陆，你说的'期望的利'，只是账目一头的秤。账目还有另一头——上下浮动的秤。光掺可不够。"
老沈愣住："为什么？我家跌的时候他家涨了，掺一块儿，浮动的秤不该抵掉一半？"
顾先生没接话，从抽屉里摸出三张白纸，铺在桌上，提笔。
第一张纸，他画了一条直线，从"陆源记"那个点画到"沈穗和"那个点。"这是第一种情况：你们两家的米价一辈子同涨同跌，叫'相关系数等于一'，'完全正相关'。这条直线上，掺出来的浮力就是两家浮力按掺的比例一加一。掺一半，浮力就是七分——比你老陆单干还高。分散？分了个寂寞。"
第二张纸，他画了一条往左上方弯的弓。"第二种情况：你们两家有时候一起涨，有时候一起跌，有时候一个涨一个跌，叫'不完全正相关'。这条弓上，掺出来的浮力比两家按比例一加一要小。弯得越往左，浮力越低。"
第三张纸，他画了一条折线，从陆源记那点出发往左下斜，斜到 y 轴上某一点，再掉头往右上斜到沈穗和那点。折线有一个折点，正好落在 y 轴上——"上下浮动等于零"。
"这是第三种情况：你家涨的时候我家一定跌、你家跌的时候我家一定涨，叫'相关系数负一'，'完全负相关'。瞧这条折线——它能碰到 y 轴。碰到 y 轴意味着，你能找到一种掺法，掺出来的米价纹丝不动。赚头还是赚头，那架上下浮动的跷跷板，从此不跳了。"
老沈问："世上哪有'一个涨一个一定跌'的两种米？"
顾先生笑了："没有。我举这个例子，是让你们看一个'极限'。真正的事是：两爿铺子掺一起，浮力会变小——但变小的多少，不取决于浮力本身，取决于两家'涨跌的步调'是不是一致。步调越不一致，浮力掉得越多。"
他拿过两人过去十年的月账："把每个月的涨跌放一列，交叉相乘求个平均，再除以两爿浮力的乘积，得出的那个数永远落在负一和正一之间，叫'相关系数 ρ'。在它落下来之前那个没除的数，叫'协方差'——'步调'的本名。"
老陆皱眉："那掺的比例不是一半对一半呢？"
顾先生答："每个比例对应一个点，把这些点连起来就是一条'路'。路上能让你'用最小的浮力换最大的利'的那一段，叫'有效前沿'。每个老板脾性不一样，挑的那一点也不一样——这件事不归我定，归账本那两把秤。"
三月底，老陆和老沈在十六铺街口挂出新招牌："陆沈联号"。半年结账：年利七分二厘——比老陆单干高，比老沈单干少一些；上下浮力从五分、九分各自掉到了四分多一点。算不上完美，但稳稳当当。
顾先生把三张纸裱进镜框，挂在账房墙上。镜框上方用小楷写了一行字："分散化的关键不在浮力本身，而在两爿米铺'脾气'之间的距离。"
📖 原文定义
马科维茨投资组合理论的基本假设是投资者是厌恶风险的。该理论认为，在预期收益率相同的情况下，投资者会选择风险较小的证券；而承担更高的风险则需要更高的预期收益来补偿。
投资组合具有两个相关的特征：一是预期收益率；二是各种可能的收益率围绕其预期值的偏离程度，这种偏离程度可以用方差度量。
投资者将选择并持有有效的投资组合。有效投资组合是指在给定的风险水平下使得期望收益最大化的投资组合，在给定的期望收益率上使得风险最小化的投资组合。
投资组合收益率的方差和标准差，取决于各资产的方差、权重以及互相之间的相关系数。
资产组合的方差是各单一资产的方差与资产间相关系数的组合。单一资产方差不变，相关系数越小，资产组合的方差也越小。
相关系数的取值范围是[-1, +1]。当ρ=1时，两变量为完全正相关；当ρ=-1时，两变量为完全负相关；当ρ=0时，两变量间无线性相关关系。
资产收益之间的相关性会影响投资组合的风险，而不会影响投资组合的预期收益率。
💡 对应点
| 故事元素 | 概念对应 |
|---|---|
| 老陆的苏北米与老沈的皖南米 | 风险资产 i 与风险资产 j |
| 平均年利六分、八分 | 资产的预期收益率 E(r) |
| 上下浮动的五分、九分 | 资产的标准差 σ |
| 把每个月的涨跌放一列比一比 | 协方差 Cov(r_i, r_j) 的思想 |
| "步调"从"一"到"零"到"负一" | 相关系数 ρ 的取值范围 [-1, +1] |
| 第一张纸上的直线 | ρ=1（完全正相关）：组合标准差 = 加权标准差的线性组合，无分散化效果 |
| 第二张纸上往左弯的弓 | ρ=0 或 0<ρ<1（不完全正相关）：组合标准差 < 加权标准差的线性组合 |
| 第三张纸上碰到 y 轴的折线 | ρ=-1（完全负相关）：可以构造零风险组合（等效于无风险资产） |
| "期望的利是七分" | 投资组合的期望收益率 = 各资产期望收益率的加权平均（与相关系数无关） |
| "分散化的关键不在浮力本身，而在脾气之间的距离" | 组合方差取决于相关系数，单一资产方差不变时相关系数越小，组合方差越小 |
| 把不同比例的"点"连成一条路 | 投资组合可行域 |
| "用最小的浮力换最大的利"的那一段 | 有效前沿 |
📝 来源：科目二 · 第九章第一节 · 二、均值—方差模型