04、期望（均值）¶
🏺 寓言故事 —— 《林四姑的米色配比》¶
1952 年初春，十六铺码头边的德兴米行刚过完元宵，街上还残留着几挂没撤的红灯笼。林四姑在自家铺面后头那间小库房里，一边给伙计们分派活儿，一边拨弄着算盘珠子。库房门口停着三辆板车，分别装着三种米色——雪粳、晚稻、糙糯。
原来是这样一回事。城西头"顾先生"托人来传话：他想同林四姑做一桩长期买卖——每回开船来上海，都由林四姑这边代购三种米色各一宗，凑成一整船走水路北上。顾先生拍着胸脯说："四姑你只管配货，按比例配齐，赚赔都由我来扛。"问题是顾先生只肯按一整船的"平均水平"付佣金——林四姑心里清楚，三种米色一船里各占多少，每种米色卖价随年景波动多少，里头大有文章。
林四姑把三辆板车的把式叫到跟前，问他们心里各自的底。雪粳的把式说："咱这个好光景能卖到一百一十块一石，平光景八十块，差光景五十块——十回里头大概两回好、六回平、两回差。"晚稻的把式说："咱波动小些，好光景七十块，平光景六十块，差光景五十块——十回里三回好、四回平、三回差。"糙糯的把式挠了挠头："咱这个走俏些，好光景九十块，平光景七十块，差光景四十块——十回里四回好、四回平、两回差。"
林四姑听完没吭声，转身回库房搬出一本发黄的旧账本——里头是她这十几年跟各家米农打交道一点点记下来的"年景份量表"。她坐到账桌前，铺开一张大白纸，提笔在纸上画了一道横线，横线上头竖着写下三种米色的名儿，下头一格一格地摆数字。算盘噼里啪啦一拨，再拨。
"雪粳：好光景一百一十，十回里两回——就是二十二；平光景八十，十回里六回——就是四十八；差光景五十，十回里两回——就是十块。合起来八十块。"林四姑念一句，伙计记一句。
"晚稻：好光景七十，三回——二十一；平光景六十，四回——二十四；差光景五十，三回——十五。合起来六十块。"
"糙糯：好光景九十，四回——三十六；平光景七十，四回——二十八；差光景四十，两回——八块。合起来七十二块。"
她把三笔数抄到大白纸最下头，顿了顿，又抬头问苏伙计："顾先生那一船里，三种米色各占多少？"
苏伙计翻开顾先生送来的配货单："雪粳占一半，晚稻占三成，糙糯占两成。"
林四姑点了点头，提笔在三种米色的"长期落点"下头各写下一个分数——一、二、五；零、三；零、二。然后她把算盘一推，拿起毛笔在大白纸最底下一格写了一长串：
"一半的八十，三成的六十，两成的七十二——合起来七十四块四。"
小伙计老米站在一旁看得眼花，忍不住插嘴："四姑，您方才拨来拨去算的是每一种米色'年复一年大致落到的那个数'，那这一步又是算什么？"
林四姑没抬头，边写边说："那一步算的是每一种米色自己落到的'长期中道'。可顾先生要的不是某一种米色的中道，是这一整船米凑在一起之后落到的中道——三种米色各有各的脾气，咱们按它在一船里占的份量一一摆进去，合出来的那一个数，才是这一整船'最该被记住的数'。"
老米把头凑过去，又问："那这个七十四块四，是不是就是顾先生那一船每年'最可能'落到的数？"
林四姑这才放下笔，转头看着老米，认真地说："记住喽——这个数，是把三种米色按它们各占的份量、把每一种米色按它年景里出现的多寡，全都摊平之后落下来的'中心数'。它不保证哪一年一定挣到，也不保证哪一年一定赔掉，它告诉你的是：年复一年做下去，这一整船平均下来大致就是这么一个数。它是你同顾先生谈佣金时心里那根'定心锚'。"
她又敲了敲桌面补了一句："还有——这桩买卖里，三种米色各占多少，事先就定死了；所以咱们这一步，是把那三种'长期中道'按事先定好的比例合到一起。这就是配资产时最要紧的一桩事——按份合数，份量不同，合出来的数也不同。"
老米把这一长串算法仔仔细细抄到自己的小本子上。窗外黄浦江上几只小舢板正划开薄雾，朝着十六铺的栈桥靠来。米行一条街又开始了新的一天。
📖 原文定义
随机变量 X 的期望，或称"均值"，记作 E(X)，衡量了 X 取值的平均水平。期望值是对 X 所有可能取值按照其概率加权后得到的平均值。
在金融领域，期望值通常用于评估投资的长期平均回报率。
资产组合的期望收益率：E(r) = w_1·r_1 + w_2·r_2 + ... + w_n·r_n
💡 对应点
| 故事元素 | 概念对应 |
|---|---|
| 三种米色（雪粳、晚稻、糙糯）各自"年复一年大致落到的数" | 每种资产/随机变量各自的期望 E(r_i) |
| 每种米色在好/平/差年景下的卖价 | 随机变量 X 的所有可能取值 x_1, x_2, ..., x_n |
| "十回里两回好、六回平、两回差" | 每个可能取值出现的概率 p_i |
| 把"卖价"按"年景出现的多寡"乘起来再加总 | 按概率 p_i 加权求和，得到单种米色的长期落点 |
| 顾先生配货单里"雪粳一半、晚稻三成、糙糯两成" | 资产组合中各资产的权重 w_1, w_2, ..., w_n |
| 把三种米色的"长期落点"按事先定好的份量合在一起 | 资产组合期望收益率 E(r) = w_1·r_1 + w_2·r_2 + ... + w_n·r_n |
| "年复一年做下去，这一整船平均下来大致就是这么一个数" | 期望衡量 X 取值的平均水平，是长期平均回报 |
| "你心里那根'定心锚'" | 期望是统计描述的基础，反映随机变量的中心位置 |
| "按份合数，份量不同，合出来的数也不同" | 组合期望 = 各资产按其在组合中比例的加权和 |
📝 来源：科目二 · 第三章第四节 · 一（一）2. 期望（均值）