05、方差与标准差¶
🏺 寓言故事 —— 《两兄弟量米》¶
1952 年开春，十六铺的米行一条街又热闹起来。德兴米行东家老周膝下有两个儿子——大儿子周大海管跑船进货，小儿子周小海管店面零售。两兄弟同在米行里做事，做买卖都做了三四年，按理说该对米价的"脾气"摸得门清，可老周总觉着他们俩做事差着一截。
这日早起，兄弟俩一前一后来到账房，跟老周汇报昨日的米价。老周在账本上把过去一整年里头每个交易日的米价一字排开：有的日子高些，有的日子低些，但大多数日子都落在某个数上下晃。他先在账本最上头写下这一年的"长期均价"——按三百六十五个交易日的价钱平均下来落下的那个数——然后指着那一长串数对小海说："你这孩子，去年三百六十五天里天天来问'今天米价几何'，问完就拉倒。你就不想想，这些个价离'长期均价'差着多远？"
小海愣了一下："爹，差多远有甚要紧？反正长年做下来都回到那个均价去了嘛。"
老周没答话，转头对大海说："你呢？"
大海也答不上来，挠了挠头。
老周便把一杆老秤从墙角搬出来，又从米仓里舀了一勺米，搁在秤盘上。秤砣推到"长期均价"那一格里——秤杆平了，正好平了。他便从账本里随手挑出三日：第一日，米价比"长期均价"高出一截；第二日，落到"长期均价"底下好远；第三日，又高出一截。他把这三日米价对应的"偏离多少"——就是每日米价跟"长期均价"之间差的那个数——一字摆开，叫兄弟俩把每个偏离数各自平方再求和。
"你们看，每一天的米价都跟这杆秤上的'长期均价'对一对，对完记下偏多少，把这一年的偏离全摆在一起——有的偏大、有的偏小。"老周指着一长串数，又在最后写下"把这些偏离全摆在一起，看它们整体'散'到哪儿去"。
"这'散'的程度，就是这买卖'稳不稳'。"老周拍了拍秤杆，"偏得越远越吓人。"
大海小海对视一眼。
"爹，"大海先开口，"那如果这一年米价天天都差不多、不怎么大起大落，'散'得小，是不是就是稳？"
老周点头："对。再有一种算法——把那些偏离的平方加总，再除以日子数——最后再开一个方。这后头一步的数，就是平常行家嘴里说的'一根尺'。这根尺越大，越吓人；越小，越稳。"
小海这下急了："可爹，咱们去年三百六十五天的米价都摆在那儿了，怎还用'估'呢？"
老周笑了笑："三百六十五个交易日是'过去'。可你做买卖，要问的是'今后'那根'尺'是大是小。拿过去的这些个交易日当一撮样本，估一估整个米市——这才是正经法子。估的时候别忘了，分母上那个日子数要减一。为甚要减一？这就是行家们琢磨出来的一点门道——为的是估得更稳。"
兄弟俩似懂非懂地点了点头。
老周看他们还犯迷糊，便又从账本里翻出去年十月那一桩买卖——一只新设的米行基金，十个交易日的回报摆在那儿。"你看这一只，"老周指着那十个数，"十日的平均回报约莫四个点三，可这一只的'那根尺'只有零点二一——零点二一比四点三小了足足二十倍。这么一比，这只买卖虽然赚得不算多，但'偏'得也小，稳得很。"
大海忍不住问："那要是换一只'那根尺'大的呢？"
老周把那一页翻过去："翻到六月那一桩——米价那月里大起大落三日，'那根尺'比平均回报还大。这种买卖，赚的时候像捡金子，赔的时候也像丢金子——没法子做长期。"
兄弟俩这才真明白了。原来米价"偏"得远近、偏得"散"与"不散"，就是这买卖稳不稳的命门。光知道"长期能挣多少"还不够，还得拿一杆秤，把每一个价跟"长期均价"对一对，看看平日里偏得最远的那几日到底偏到哪儿去了——这"偏的远近"和"偏的散不散"，合起来就是行家嘴里那根看不见的尺。
窗外的黄浦江上，几只小舢板正划过薄雾，朝着十六铺的栈桥靠来。米行一条街又开始了新的一天，老周这一笔账，也落定了。
📖 原文定义
很多情况下，我们不仅需要了解数据的期望值和平均水平，还要了解这组数据分布的离散程度。分布越分散，波动性和不可预测性也就越强。
对于投资收益率 r，我们用方差（σ²）或者标准差（σ）来衡量它偏离期望值的程度。方差和标准差越大，表明收益率 r 偏离期望收益率 E(r) 的程度越大；反之越小。
当 r 的分布未知时，我们可以通过抽取样本计算样本方差和样本标准差来估计总体方差和标准差。样本方差 S² = (1/(n-1)) × Σ(r_i - r̄)²，其中 n-1 是自由度调整。
[案例3-12] 基金 10 个交易日收益率均值 4.305%，标准差 0.209%，标准差远低于其期望收益率，波动相对较小。
💡 对应点
| 故事元素 | 概念对应 |
|---|---|
| 米价每天的价钱 | 投资收益率 r |
| "长期均价" | 期望收益率 E(r) |
| 每一日米价与"长期均价"差的那个数 | 偏离量 (r_i - r̄) |
| 把每个偏离数各自平方再求和 | Σ(r_i - r̄)² |
| 偏离平方加总后除以日子数 | 方差 σ² |
| 最后开方的那"一根尺" | 标准差 σ |
| "偏得越远越吓人"、"这根尺越大越吓人" | 方差/标准差越大，分布越分散，波动性和不可预测性越强 |
| "偏得也小，稳得很" | 标准差越小，分布越集中，波动越小 |
| 拿过去的交易日"当一撮样本" | 用样本估计总体 |
| "分母上那个日子数要减一" | 自由度调整：分母为 n-1 |
| 案例中 10 个交易日、均值 4.305%、"那根尺" 0.209% | 案例 3-12：标准差远低于期望收益率，波动相对较小 |
📝 来源：科目二 · 第三章第四节 · 一（一）2. 方差与标准差