01、期望（均值）¶
🏺 寓言故事 —— 《老周的一笔账》¶
1952 年初春，十六铺码头边的德兴米行刚开门，街上还飘着点薄雾。老周坐在账房里，对着桌上那本厚厚的账册发呆。儿子小周端了碗热粥进来，见父亲眉头紧锁，便凑过去问缘由。
原来是这样一回事。城里有个姓陈的大粮商，想同老周做一桩"代存代卖"的买卖：陈家把三百石粳米存在德兴米行的仓里，由老周代为出售；老周按卖出的银钱抽一笔佣金。问题是这桩买卖到底能挣多少，谁也说不准——米价随行就市，丰年跌、荒年涨，谁也猜不到年底会是个什么光景。老周手里捏着三个"可能"：好光景能挣九十块，平光景能挣六十块，差光景要倒贴三十块。
小周急了："爹，那到底还接不接？"
老周没答话，而是从抽屉里翻出一张旧黄纸，上面是他去年跟几位老行家一起琢磨出的"经验估法"。他指着上面写的几行字对小周说："我做这行三十年了，米市里头我大致知道——十回里头有三回赶上好年景，五回是平年景，两回是差年景。"小周把头凑过来，听着父亲一字一字地说下去。
"好光景能挣九十，可十回里只有三回赶上它；平年景挣六十，十回里有五回；差年景赔三十，十回里有两回。"老周拿起笔，把黄纸上的数字拆开重写——九十、三、五；六十、五、五；三十、负、二。写完，他又在最底下添了一长串算式。
"你看，咱们做买卖，不能只盯着最好的时候，也不能只怕最差的时候。得把每一种光景的份量按它出现的多寡算进去，再合在一起——九十三，五分五；六乘五，五分五；负三乘二，合起来。"老周指着那行算式，"这就是这桩买卖每年'最可能'落到的数。"
小周扒着手指头算了半天，眼睛忽然亮了："五十六！爹，五十多块不少了。"
老周点点头，但随即又敲了敲桌面："这个数，是把每一种可能都摊平之后落下来的'中间数'。它不代表一定挣到，也不代表一定赔掉，它告诉你的是——要是这桩买卖年复一年做下去，平均下来大致就是这么一个数。它是你心里那根'定心锚'。"
小周还是有些犯嘀咕："可万一哪一年正好赶上差年景，一下赔三十，那不是把这根'锚'也打掉了？"
老周笑了笑："这就对了。所以光靠这一根锚还不够，还得看看差年景来的时候'离这根锚有多远'。不过那是另一桩事了——咱们今天先把'最可能落到哪儿'这件事弄清楚。"说完，老周在黄纸最上方写下四个字："按份合数"，又补了一行小字，"把这三桩光景按十回里各占几回的比例摆进去，合出来的那个数，就是这桩买卖的'中心位置'。"
小周终于明白了：原来做事之前，先要把各种光景分清楚，按它们各占的份量一一摆好，最后合出来的那一个数，就是这桩事最该被记住的"中道"。
窗外的黄浦江上，几只小舢板正划开薄雾，朝着十六铺的栈桥靠来。米行一条街又开始了新的一天。
📖 原文定义
随机变量X的期望，或称"均值"，记作 $E(X)$ ，衡量了X取值的平均水平。期望值是对X所有可能取值按照其概率加权后得到的平均值。
在金融领域，期望值通常用于评估投资的长期平均回报率。
利用随机变量期望的线性性质，可以计算按比例分配资金构造的资产组合的总体期望收益率。
💡 对应点
| 故事元素 | 概念对应 |
|---|---|
| 九十、六十、负三十三种"可能挣到的数" | 随机变量 X 的所有可能取值 $x_1, x_2, \dots, x_n$ |
| "十回里三回好、五回平、两回差" | 每个可能取值出现的概率 $p_i$ |
| 把"可能挣到的数"按"出现多寡"乘起来再加总 | 按概率 $p_i$ 加权求和 |
| 合出来的那个五十多块的"中心数" | 期望 $E(X)$——所有可能取值的加权平均值 |
| "年复一年做下去，平均下来大致就是这么一个数" | 期望衡量 X 取值的平均水平（中心位置） |
| "你心里那根'定心锚'" | 期望是统计描述的基础，反映随机变量的中心位置 |
| "先弄清楚'最可能落到哪儿'" | 金融领域用期望评估长期平均回报率 |
| 好/平/差三种光景的份量摆进一根算式 | 离散型随机变量期望的计算方式 |
📝 来源：科目二 · 第三章第四节 · 一、期望（均值）