19、贴现因子¶
🏺 寓言故事 —— 《老陆的折扣算盘》¶
1952 年初春，十六铺码头一开春就忙得脚不沾地。米行周先生这天清早把老陆叫进内堂，递过一张字据——城西布庄陈源丰想再借一笔钱，但这回跟去年那笔不一样：不是三年后一次还清，而是约好今后十年里头，每一年年末都要还米行一块银元，加在一起共十块。
起¶
老陆拿着字据回柜上，越看越犯难。去年那笔三年账，他请教过钱庄的顾先生，"滚雪球"和"打折扣"两桩事他已摸得清。可这一回，年年都有一块钱进门，年年又隔了一段日子才到手——他得给周先生说清楚：这张字据，今天到底该值多少？
老陆把十六铺几位老熟人拉来商量。钱庄恒泰的孙掌柜是吃这碗饭的，听完笑了笑："这事倒也不难。年六分利嘛，你把十年里头每一年那块银元，都按'打折扣'的法子折回今天，再把它们一块儿加在一块儿，整张字据今天值多少就出来了。"老陆问："那折扣咋打？"孙掌柜提笔在纸上写了一个数。
承¶
老陆接过那张纸，看得一头雾水。孙掌柜写的是：第一年那块银元折回今天，要乘一个九折出头的数；第二年那块银元，要乘一个八折出头的数；越往后的年份，那折扣越狠，到第十年那块银元，乘上的数已不到六折。
"为啥越远的折扣越狠？"老陆追问。孙掌柜解释："你借给人家钱，是把今天的'一把银元'换成十年里头'陆陆续续进门'的一堆银元。钱在你手上有它的本事——你能拿它进货、付租金、撑门面。这本事每多压一年，就要多给人家一笔补偿。所以那笔在十年后才到手的银元，今天看来就比不上第一年就到手的银元值钱。"
老冯是米行里数算账最慢的，听了忍不住插一句："那如果年六分利改成别的数呢？"孙掌柜摆手："折得狠不狠，全看那'六分'。六分高一点，折扣就狠一点；六分低一点，折扣就轻一点。年年都按这同一个比率折下去——但同一年份，折扣是同一个数；不同年份，折扣各自不同。"
转¶
老陆回去把十年的折扣列了一张表，又动手一笔一笔算：第一年的折回今天值九角多，第二年再少一点，…… 加在一起，老陆算盘拨得噼啪响，最后拢出一个数：比七块多一点，离十块差了不少。
他把这数报给周先生。周先生蹙眉："陈源丰这人信用一向不错，咱们该不该接？"老陆答："接不接，得看陈源丰这十年信用稳不稳、还有没有别的进账——这些都跟折算本身没关系。折算只管一件事：把每一笔未来要进门的银元，按它离今天还有多远，打一个合适大小的折扣，再把这些折扣后的数加在一块儿，就是这张字据今天该值的那个身价钱。"
周先生点头："这算法倒也清爽——先把年年的折扣都备好，再拿来乘那一块一块的银元，最后加到一块儿。"老陆应道："正是。这套事先备好的'折扣单'，把往后每年打折扣的活儿都打包好了。"
合¶
后来这张十年字据到底签没签，十六铺的街坊说法不一；但老陆那张"折扣单"，却成了米行里往后多年的一桩宝贝——任何一张字据，只要把里头每一年要进门的银元按那张表上的折扣打一遍，再加到一起，今天该值多少便一目了然。
老陆把这件事记在账本扉页上："一年到头、十年到头，无论隔了多少年，未来那一块银元折回今天值多少，全在那张表里。把每一年那笔乘上对应的折扣，加起来——这一加，就是整笔未来今天的身价。"
📖 原文定义
通过即期利率，我们可以为每个时间点定义相应的贴现因子 d_t，其计算公式为：d_t = 1 / (1 + s_t)^t 其中，s_t 为即期利率。 贴现因子将未来现金流直接转化为相应的现值，可以看作是未来某个时间点上收到 1 单位现金的现值。随着时间 t 的增加，贴现因子通常会变小，反映出远期现金流的现值较低。 对于任意现金流 (x_0, x_1, ..., x_k) 与相应的市场即期利率，现值计算公式为：PV = Σ x_t × d_t 贴现因子 d_t 的作用可以理解为时间 k 收到的单位现金的价格。 [案例3-8] 10 年期票面利率 8% 债券，用即期利率曲线算贴现因子，每年现金流乘以贴现因子求和，得现值 97.34。
💡 对应点
| 故事元素 | 概念对应 |
|---|---|
| 十年里头每一年年末还米行一块银元 | 未来现金流序列 (x_0, x_1, ..., x_k) |
| 把每一年的银元都按"打折扣"折回今天 | 贴现因子的作用：把未来单位现金折算为今天值多少 |
| 第一年那块银元乘九折出头，越往后的折扣越狠 | 随时间 t 增加，贴现因子 d_t 变小；远期现金流的现值较低 |
| 折得狠不狠全看那"六分" | 贴现因子大小取决于即期利率 s_t |
| 同一年的折扣是同一个数；不同年份折扣各自不同 | 每个时间点对应一个贴现因子 |
| 把十年折扣列成一张表，每一年对应一个数 | 贴现因子 d_t 序列的构建 |
| 年年那块银元 × 折扣，再加在一起 | 现值公式：PV = Σ x_t × d_t |
| 那张事先备好的"折扣单" | 贴现因子的打包工具：把"按每年贴现"的活儿统一备好 |
| 案例中十年债券每年现金流乘以贴现因子求和 | [案例3-8] 计算思路 |
📝 来源：科目二 · 第三章第二节 · 五（二）贴现因子